Statistik 3 - Prüfung 3.2.2006 - Beispiel 2

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Beispiel 2 - Angabe

Sei y_t = a + b x_t + u_t \qquad t=1, \ldots, n. \, Es sei x_t = 5 \, für alle t=1, \ldots, n. \,

Beispiel 2 - a

Schreiben Sie das Modell in Vektorform y = X \beta + u \,.

 y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}  Dimension:  n \times 1 \,

 X = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 5 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 5 \end{pmatrix}  Dimension:  n \times 2 \,
 \beta = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}  Dimension:  2 \times 1 \,

 u = \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}  Dimension:  n \times 1 \,

 
y = 
\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}

Beispiel 2 - b

Bestimmen Sie den Rang von X\,.

\operatorname{rang}(X) = 1 \, weil  \alpha = \begin{pmatrix}5  \\ -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \alpha X = 0 \,
Definition Rang: Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektor

x_{.,2} = 5 x_{.,1} \Rightarrow \operatorname{rang}(X) = 1\, 

Beispiel 2 - c

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Normalgleichungen.

L = \mathbb{R}^2 \,

X'X = \begin{pmatrix} n & 5n \\ 5n & 25n \end{pmatrix} \,

X'y = \begin{pmatrix}  \sum_{t=1}^n y_t \\ 5 \sum_{t=1}^n y_t \end{pmatrix} 

Normalgleichung: (X'X) \hat \beta = X'y \,

\begin{pmatrix} n & 5n \\ 5n & 25n \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  \hat a  \\ \hat b \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}  \sum_{t=1}^n y_t \\ 5 \sum_{t=1}^n y_t \end{pmatrix} 
n \hat a  + 5n \hat b = \sum_{t=1}^n y_t \,

5n \hat a + 25n \hat b = 5 \sum_{t=1}^n y_t\,
\hat a  + 5 \hat b = \bar y \,

\hat a + 5 \hat b = \bar y\,
2 Unbekannte, 1 Gleichung \Rightarrow Unendlich viele Lösungen.

 L = \{\hat a, \hat b : \hat a + 5 \hat b = \bar y \}\,

Beispiel 2 - d

Geben Sie eine schätzbare Linearkombination von \beta \, an.

Lösung von Nina

c' \hat \beta_{(1)} = c' \hat \beta_{(2)} \,

c' = \begin{pmatrix} 1 & 5 \end{pmatrix} \,

\beta_{(1)} = \begin{pmatrix} \bar y - 5 \hat b \\ \hat b \end{pmatrix} \,

\beta_{(2)} = \begin{pmatrix} \hat a \\ \frac{\bar y - \hat a}{5} \end{pmatrix} \,

 \begin{pmatrix} 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar y - 5 \hat b \\ \hat b \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat a \\ \frac{\bar y - \hat a}{5} \end{pmatrix} \,


\bar y - 5 \hat b + 5 \hat b = \hat a + \bar y - \hat a\,

\bar y = \bar y \,
Lösung von Markus

Da die erste von der zweiten Spalte abhängig ist, bilde ich die Summe davon. Daher 


c_{1 \times k}' = 
\delta ' X = 
\begin{pmatrix} 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 5 \end{pmatrix} =
n \begin{pmatrix} 1 & 5 \end{pmatrix} 


Schätzbare Linearkombination ist daher: 

c'\beta = n ( a + 5 b) \,