Statistik 3 - Prüfung 3.2.2003 - Beispiel 3

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Gegeben sie die folgende Produktionsfunktion

\log Q_t = \beta_1 + \beta_2 \log K_t + \beta_3 \log L_t + u_t\,

wobei Q_t\, den Output, K_t\, das eingesetzte Kapital und L_t\, die eingesetzte Arbeit bezeichne. Es sollen die Standardannahmen inklusive Normalverteilungsannahme für die Fehler gelten. Auf der Basis einer Stichprobe der Größe 35 erhält man folgende Schätzwerte:

\hat{\beta}_1 = 1.2\,

\hat{\beta}_2 = 0.65 (0.09)\,

\hat{\beta}_3 = 0.31 (0.16\,

wobei die Zahlen in Klammern die geschätzten Standardfehler des jeweiligen Parameterschätzers angeben.

Weiters wurde als Schätzer für \operatorname{cov}(\hat{\beta}_2, \hat{\beta}_3) \, ein Wert von 0.1 ermittelt. Testen Sie die Hypothese von konstanten Skalenerträgen (\beta_2 + \beta_3 = 1)\, auf dem 5%-Niveau.

Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, dass die F-Statistik auch in der Form

\frac{(R \hat\beta - r)' (R \hat{\operatorname{VC}}(\hat \beta) R')^{-1} (R \hat\beta - r)}{q}\,

geschrieben werden kann.

R \beta = r \,

R = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

r = 1 \, 

q = \operatorname{rang}(R) = 1 \,

\hat{\operatorname{VC}}(\hat \beta) = 
\begin{pmatrix}
\hat{\operatorname{var}}_{\hat{\beta}_1}^2 & \hat{\operatorname{cov}}(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2) & \hat{\operatorname{cov}}(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_3) \\
\hat{\operatorname{cov}} (\hat{\beta}_2, \hat{\beta}_1) & 0.09^2 & 0.1 \\
\hat{\operatorname{cov}} (\hat{\beta}_3, \hat{\beta}_1) & 0.1    & 0.16^2 
\end{pmatrix}


F = \frac{(R \hat\beta - r)' (R \hat{\operatorname{VC}}(\hat \beta) R')^{-1} (R \hat\beta - r)}{q} = 
\frac{-0.04 \cdot \frac{1}{0.2337} \cdot -0.04}{1} = 
0.00685

Man muss keine Lösung hinschreiben, sondern nur die Vorgehensweise:

1. Das Signifikanzniveau des Tests ist 0.05 = \alpha \,
2. Der kritische Wer f_\alpha\, ist das (1-\alpha)\, Quantil der F_{1,35-3} \,-Verteilung 

q = \operatorname{rang}(R) = 1 \,

n = 35 \, laut Angabe

k = 3 \, da 3 Koeffizienten geschätzt werden

3. H_0\, wird verworfen, wenn der berechnte F-Wert von 0.00685 > f_\alpha \, ist.


F_{q,n-k}^{-1}(1-\alpha) = F_{1,32}^{-1}(0.95) = 4.149 \, in R mit qf(0.95, 1, 32)

Daher kann H_0\, nicht verworfen werden.