Statistik 3 - Prüfung 3.10.2005 - Beispiel 3

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Beispiel 3 - a und b

Angabe und Lösung von (a) und (b) siehe Statistik 3 - Prüfung 3.2.2003 - Beispiel 1 und Statistik 3 - Prüfung 2.2.2005 - Beispiel 2

Beispiel 3 - c

Ähnlich zu Statistik 3 - Prüfung 3.2.2006 - Beispiel 1

Sei weiters u \, multivariat Normalverteilt. Bestimmen Sie die Verteilung von \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 + \ldots + \hat{\beta}_k \,

Reproduktionssatz (([[Statistik 3 - Prüfung - Formeln#Normalverteilung]): Z \sim N(\mu, \Sigma), W = A Z + a \Rightarrow W \sim N(A \mu + a, A \Sigma A')  falls A\, vollen zeilen Rang hat. 
\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 + \ldots + \hat{\beta}_k = \hat \beta ' i_k \, wobei i_k = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \,

u \sim N(0, \sigma^2 \Omega) \,
\hat \beta = (X'X)^{-1} X'Y = (X'X)^{-1} X'(X \beta + u) = \beta + (X'X)^{-1} X'u \,

\hat \beta \sim N((X'X)^{-1} X' 0 + \beta, (X'X)^{-1} X' \sigma^2 ((X'X)^{-1} X')') = N(\beta, \sigma^2 (X'X)^{-1} X' \Omega X (X'X)^{-1} \,

i ' \hat \beta \sim N(i'\beta, i' (\sigma^2 (X'X)^{-1} X' \Omega X (X'X)^{-1}) (i')') = N(i'\beta, \sigma^2 i'(X'X)^{-1} X' \Omega X (X'X)^{-1}) i \,
i'\hat \beta \, ist univariat Normalverteilt.