Statistik 3 - Prüfung 3.10.2005 - Beispiel 2

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Es seien die Gleichungen

(1) \qquad y_t = \alpha_1 + \beta_1 x_t + u_t \qquad t = 1, \ldots n_1\,

und

(2) \qquad y_t = \alpha_2 + \beta_2 x_t + u_t \qquad t = n_1 + 1, \ldots n_1+n_2\,

gegeben, wobie die Fehler u_t\, unabhängig identisch N(0,\sigma^2)\, verteilt sind und der Regressor x_t\, nicht zufällig ist.

Es ist die Hypothese H_0: \alpha_1 = \alpha_2\, und \beta_1 = \beta_2\, gegen die Alternative H_1: \alpha_1 \ne \alpha_2\, oder \beta_1 \ne \beta_2\, zu testen.

Beschreiben Sie die Teststatistik und Ihre Berechnung im Detail.

Reformuliere (1)\, und (2)\,

(3) \qquad y_t = \alpha_1 D_{t,1} + \beta_1 (x_t D_{t,1}) + \alpha_2 D_{t,2} + \beta_2 (x_t D_{t,2}) + u_t \qquad t=1,\ldots,n_1 + n_2 \,

 D_{t,1} =
\begin{cases}
1 & \mbox{falls } 1 \le t \le n_1 \\
0 & \mbox{falls } n_1 + 1 \le t \le n_1 + n_2 \\
\end{cases}


 D_{t,2} =
\begin{cases}
0 & \mbox{falls } 1 \le t \le n_1 \\
1 & \mbox{falls } n_1 + 1 \le t \le n_1 + n_2 \\
\end{cases}


Designmatrix (Structural Shift): X^{(3)} = 
\begin{bmatrix} 
1 & x_{1} & 0 & 0 \\
1 & x_{2} & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
1 & x_{n_1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & x_{n_1+1} \\
0 & 0& 1 & x_{n_1+2} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0& 1 & x_{n_1+n_2} 
\end{bmatrix}


\beta = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \beta_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_2 \end{pmatrix}\,

H_0 \, wird in der Gleichung (3)\, mit dem F-Test getestet.

H_0: R \beta = r \,

R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \,

r = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} 

R \beta = r \Rightarrow 
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \beta_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\Rightarrow \alpha_1 - \alpha_2 =0, \beta_1 - \beta_2 = 0 \,

\hat \beta = \begin{pmatrix} \hat{\alpha}_1 \\ \hat{\beta}_1 \\ \hat{\alpha}_2 \\ \hat{\beta}_2 \end{pmatrix}  

wobei \hat{\alpha}_1, \hat{\beta}_1\, die gewöhnlichen KQ-Schätzer für Gleichung (1)\, sind.
F = 
\displaystyle \frac{\frac{(R \hat \beta - r)' [R (X'X)^{-1} R']^{-1}  (R \hat \beta - r)}{q}}
{\frac{\hat u ' \hat u}{n - k}}


wobei q = \operatorname{rang}(R) = 2 = \, Anzahl der Gleichungen (Achtung Zeilenrang).

und k = 4\, Anzahl der Parameter.
und \hat u'\hat u \, ist die unrestringierte Residuenquadratsumme \hat u'\hat u = \hat u_{(1)}'\hat u_{(1)} + \hat u_{(2)}'\hat u_{(2)} \,,

wobei \hat u_{(1)}'\hat u_{(1)}\, die Residuenquadratsumme aus Gleichung (1)\, ist.

Die Teststatitistik ist dann F-Verteilt mit q\, und n-k\, Freiheitsgraden (F \sim F_{2, n-4})\,
Lösung Nina 
unter H_0\, wird (3)\, zu (3')\,

(3') \qquad y_t = \alpha_1 D_{t,1} + \beta_1 (x_t D_{t,1}) + \alpha_1 D_{t,2} + \beta_1 (x_t D_{t,2}) + u_t \qquad t=1,\ldots,n_1 + n_2 \,

 \begin{matrix}
y_t = \alpha_1 ( & \underbrace{ D_{t,1} + D_{t,2}} & ) + \beta_1 x_t ( & \underbrace{D_{t,1}) + D_{t,2} } & ) + u_t \qquad t=1,\ldots,n_1 + n_2 \\ 
& 1 & & 1 &
\end{matrix}


TODO hier gehts noch weiter. Ich find nur den anderen weg einfacher.