Statistik 3 - Prüfung 3.10.2005 - Beispiel 1

From StatWiki
Jump to: navigation, search


Formulieren Sie das lineare Regressionsmodell in Matrixnotation und seine Standardannahmen. Geben Sie den KQ-Schätzer an. Welche Zielfunktion minimiert dieser?

 Y = X\beta + u\,

 Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}  Dimension:  n \times 1 \,

 X = \begin{bmatrix} 
x_{1,1} & x_{1,2} & \ldots & x_{1,k} \\ 
x_{2,1} & x_{2,2} & \ldots & x_{2,k} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 
x_{n,1} & x_{n,2} & \ldots & x_{n,k}
\end{bmatrix}  Dimension:  n \times k \,
 \beta = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_k \end{pmatrix}  Dimension:  k \times 1 \,

 u = \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}  Dimension:  n \times 1 \,
Standardannahmen:

1. \operatorname{E}(u) = 0 \,

2. \operatorname{E}(u u') = \sigma^2 I \, Homoskedastisch und unkorrelierte Fehler

3. \operatorname{rang}(X) = k \qquad X \, hat vollen Spaltenrang.

4. X\, ist nicht zufällig.
Zielfunktion: f(\beta) = u ' u = (Y - X \beta)'(Y - X \beta) \Rightarrow \, min