Statistik 3 - Prüfung 29.9.2006 - Beispiel 2

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Y=X \beta + u \, wobei X \, eine n \times k \, Matrix ist

Annahmen:

1. \operatorname{E}(u) = 0 \,

2. \operatorname{E}(u u') = \sigma^2 I \ldots \, Homoskedastizität

3. \operatorname{rang}(X) = k \ldots X \, hat vollen Rang

4. X \, ist nicht stochastisch (nicht zufällig)

Beispiel 2 b

Gesucht \operatorname{E}(\hat \beta), \operatorname{Var}(\hat \beta) \,

\operatorname{E}(\hat \beta) = 
\operatorname{E}[(X'X)^{-1} X'Y ] = 
(X'X)^{-1} X' \operatorname{E}[X \beta + u] = 
(X'X)^{-1} X' X \beta + (X'X)^{-1} X'\operatorname{E}(u) = 
\beta\,
\operatorname{Var}(\hat \beta) = 
\operatorname{E}[(\hat \beta -  \operatorname{E}(\hat \beta)) (\hat \beta -  \operatorname{E}(\hat \beta))'] =


 = \operatorname{E}[(\hat \beta -  \beta) (\hat \beta - \beta)'] = 

 = \operatorname{E}[((X'X)^{-1}X'Y -  \beta) ((X'X)^{-1}X'Y - \beta)'] = 

 = \operatorname{E}[((X'X)^{-1}X'(X \beta + u) -  \beta) ((X'X)^{-1}X'(X \beta + u) - \beta)'] = 

 = \operatorname{E}[((X'X)^{-1}X'X \beta + (X'X)^{-1}X'u - \beta) ((X'X)^{-1}X'X \beta + (X'X)^{-1}X'u - \beta)'] = 

 = \operatorname{E}[(\beta + (X'X)^{-1}X'u - \beta) (\beta + (X'X)^{-1}X'u - \beta)'] = 

 = \operatorname{E}[((X'X)^{-1}X'u) ((X'X)^{-1}X'u)'] = 

 = \operatorname{E}[(X'X)^{-1}X' uu' X (X'X)^{-1}] = 

 = (X'X)^{-1}X' \operatorname{E}(uu') X (X'X)^{-1} = 

 = (X'X)^{-1}X' \sigma^2 I X (X'X)^{-1} = \,

 = \sigma^2 (X'X)^{-1}X'X (X'X)^{-1} = \,

 = \sigma^2 (X'X)^{-1} \,

Beispiel c

Zusätzliche Annahme u \sim N(0, \sigma^2 I_n) \Rightarrow u_i \sim N(0,\sigma^2) \,

siehe Statistik 3 - Prüfung 3.2.2006 - Beispiel 1#Beispiel 1 - a