Statistik 3 - Prüfung 20.6.2005 - Beispiel 1

From StatWiki
Jump to: navigation, search

Beispiel 1

Sei Y = X \beta + u, \operatorname{E}(u) = 0,  \operatorname{E}(u u') = \sigma^2 \Omega, \Omega\, positiv definit und \sigma^2 > 0 \,, und X \, eine nichtzufällige

n \times k \, Matrix mit \operatorname{rang}(X) = k\,. Sei \hat \beta\, der gewöhnliche KQ-Schätzer.

Beispiel 1 a

siehe Statistik 3 - Prüfung 2.2.2005 - Beispiel 2#Beispiel 2 a

Beispiel 1 b

siehe Statistik 3 - Prüfung 3.2.2006 - Beispiel 1#Beispiel 1 - a

Beispiel 1 c

Angenommen Sie wollen für ein i\, die Hypothese H_0: \beta_i = \beta_i^{\star} \, gegen H_1: \beta_i \ne \beta_i^{\star} \, testen.

Können Sie dafür die übliche t-Statistik

t=\frac{\hat \beta_i - \beta_i^{\star}}{\hat \sigma^2 \sqrt{a_{i,i}}} \,

verwenden, wobei a_{i,i}\, das i-te Diagonalelement von (X'X)^{-1}\, bezeichnet?

Nein, da \sigma^2 \sqrt{a_{i,i}}\, nicht die Standardabweichung von \hat \beta_i \, ist. 

Man müsste das i-te Diagonalelement von (X'X)^{-1} X' \Omega X (X'X)^{-1} \, nehmen.