Statistik 3 - Prüfung 2.2.2005 - Beispiel 2

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Beispiel 2

Sei Y = X \beta + u, \operatorname{E}(u) = 0,  \operatorname{E}(u u') = \sigma^2 \Omega, \Omega\, positiv definit und \sigma^2 > 0 \,, und  (X) \, eine nichtzufällige

n \times k \, Matrix mit \operatorname{rang}(X) = k\,. Sei \hat \beta\, der gewöhnliche KQ-Schätzer.

Beispiel 2 a

Welche Funktion wird von \hat \beta\, minimiert?

f(\beta) = (Y - X \beta)'(Y - X \beta) \,

\hat \beta = (X'X)^{-1} X'Y \,

Beispiel 2 b

Berechnen Sie den Bias von \hat \beta\,

\operatorname{E}(\hat \beta) = 
\operatorname{E}((X'X)^{-1} X'Y) = 
\operatorname{E}((X'X)^{-1} X'X \beta) = 
\operatorname{E}(\beta) = 
\beta 

\operatorname{Bias}_{\beta}(\hat \beta) = \operatorname{E}(\hat \beta) - \beta = \beta - \beta = 0 \,

Beispiel 2 c

Bestimmen Sie die VC-Matrix von \hat \beta

\operatorname{VC}(\hat \beta) = 
\operatorname{E}( (\hat \beta - \operatorname{E}(\hat \beta)) (\hat \beta - \operatorname{E}(\hat \beta))') =
\operatorname{E}( (\hat \beta - \beta) (\hat \beta - \beta)') =

NR: \hat \beta - \beta = 
(X'X)^{-1} X'Y - \beta =
(X'X)^{-1} X'(X \beta + u) - \beta =
\beta + (X'X)^{-1} X'u - \beta = 
(X'X)^{-1} X'u \,
 = \operatorname{E}( ((X'X)^{-1} X'u) ((X'X)^{-1} X'u)') =
\operatorname{E}( (X'X)^{-1} X'u u'X (X'X)^{-1}) =


= (X'X)^{-1} X' \operatorname{E}(u u') X (X'X)^{-1} =
(X'X)^{-1} X' \sigma^2 \Omega X (X'X)^{-1} = \,


= \sigma^2 (X'X)^{-1} X' \Omega X (X'X)^{-1} \,

Beispiel 2 d

Gilt das Gauß-Markov-Theorem für \hat \beta\,? Begründen Sie Ihre Antwort.

Nein, dass Gauß-Markov-Theorem gilt nicht, weil die Fehlerterme korreliert und heteroskedastisch sind.