Statistik 3 - Prüfung 2.2.2005 - Beispiel 1

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Beispiel 1

Sei X \, eine nichtzufällige n \times k\, Matrix. Sei Y = X \beta \, mit \operatorname{E}(u) = 0\,.

Ein Parametervektor \beta \in \mathbb{R}^k\, heißt wahrer Wert, falls \operatorname{E}(Y) = X \beta \, gilt.

Beispiel 1 a

Zeigen Sie, dass je zwei wahre Werte \beta^{(1)}\, bzw. \beta^{(2)}\, die Beziehung X \beta^{(1)} = X \beta^{(2)}\, erfüllen.

\operatorname{E}(Y) =  \operatorname{E}(X \beta^{(1)} + u^{(1)}) = X \beta^{(1)} 
\operatorname{E}(Y) =  \operatorname{E}(X \beta^{(2)} + u^{(2)}) = X \beta^{(2)} 
 
\beta^{(1)}\, ist wahrer Wert  \Rightarrow \operatorname{E}(Y) = X \beta^{(1)}\,

\beta^{(2)}\, ist wahrer Wert  \Rightarrow \operatorname{E}(Y) = X \beta^{(2)}\,

\operatorname{E}(Y) = \operatorname{E}(Y) \, 

\Rightarrow X \beta^{(1)} = X \beta^{(2)} \,

Beispiel 1 b

Falls \operatorname{rang}(X) = k \, ist, zeigen Sie, dass es einen eindeutig bestimmten wahren Wert gibt. D.h., zeigen Sie,

dass je zwei wahre Werte \beta^{(1)}\, bzw. \beta^{(2)}\, gleich sein müssen.

Aus a) ist bekannt X \beta^{(1)} = X \beta^{(2)} \,

Multiplizieren von X'\, auf beiden Seiten.

 X'X \beta^{(1)} = X'X \beta^{(2)} \,

Da \operatorname{rang}(X) = k \, ist, existiert (X'X)^{-1}\,
 
\beta^{(1)} = \beta^{(2)} \,

Beispiel 1 c

Zeigen Sie, dass je zwei Lösungen \hat{\beta}^{(1)}\, bzw. \hat{\beta}^{(2)}\, der Normalgleichungen für den gewöhnlichen KQ-Schätzer die Beziehung X \hat{\beta}^{(1)} = X \hat{\beta}^{(2)}\, erfüllen.

Normalgleichungen: X'Y = X'X \hat \beta \,

\hat{\beta}^{(1)}\, ist Lösugen der Normalgleichung \Rightarrow X'Y = X'X \hat{\beta}^{(1)} \,

\hat{\beta}^{(2)}\, ist Lösugen der Normalgleichung \Rightarrow X'Y = X'X \hat{\beta}^{(2)} \,

\Rightarrow X'X \hat{\beta}^{(1)} = X'X \hat{\beta}^{(2)} \,

X'X \hat{\beta}^{(1)} - X'X \hat{\beta}^{(2)} = 0 \,

X'X (\hat{\beta}^{(1)} - \hat{\beta}^{(2)}) = 0 \, und jetzt auf beiden Seiten multiplizieren

(\hat{\beta}^{(1)} - \hat{\beta}^{(2)}) X'X (\hat{\beta}^{(1)} - \hat{\beta}^{(2)}) = 0 \, 

\begin{matrix} \underbrace{(X (\hat{\beta}^{(1)} - \hat{\beta}^{(2)}))} & ' & \underbrace{X (\hat{\beta}^{(1)} - \hat{\beta}^{(2)})} & = 0 \\
Z & & Z & 
\end{matrix}
\, 

Wobei Z\, Dimension n \times 1 \, hat.

Z ' Z = 0 \, ist ein Skalar.
 
\sum_{i=1}^n z_i^2 = 0 \Rightarrow z_i = 0 \, \forall i

Z = 0\,

X (\hat{\beta}^{(1)} - \hat{\beta}^{(2)})) = 0 \,

X \hat{\beta}^{(1)} = X \hat{\beta}^{(2)} \,

Beispiel 1 d

Falls \operatorname{rang}(X) = k \, ist, zeigen Sie, dass die Normalgleichungen eine eindeutige Lösung besitzen.

X'Y = X'X \hat{\beta}^{(1)} \,
 
X'Y = X'X \hat{\beta}^{(2)} \,

Wenn \operatorname{rang}(X) = k \, gilt, dann existiert (X'X)^{-1}\,
Siehe Statistik 3 - Beispiel 25#Weshalb ist X'X invertierbar?

(X'X)^{-1} X'Y = \hat{\beta}^{(1)} \,
 
(X'X)^{-1} X'Y = \hat{\beta}^{(2)} \,

\Rightarrow \hat{\beta}^{(1)} = \hat{\beta}^{(2)} \,