Statistik 3 - Prüfung 2.2.2004 - Beispiel 2

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Sei wiederum das Regressionsmodell Y = X \beta + u \,, mit den Standardannahmen gegeben.

Gegeben ist weiters die lineare Hypothese H_0: R \beta = r\,. Beschreiben Sie einen adäquaten Test für diese Hypothese (gegen die Alternative H_1: R \beta \ne r\,).

Welche Zusatzannahmen sind dazu nötig? Geben Sie zwei äquivalente Formen der Teststatistik an.

Zusatzannahmen:

1. u \sim N(0,\sigma^2 I_n) \, d.h. u\, ist multivariat Normalverteilt.

2. R\, besitzt vollen Zeilenrang.
3. Ist hier nicht nötig, weil \operatorname{rang}(X) = k\,, aber eigentlich müsste es reichen wenn R \beta \Leftarrow \, (Falsch, da gehört was anderes hin) eine schätzbare Linearkombination ist.
Testprozedur:

1. Wähle ein Signifikanzniveau \alpha (0 < \alpha < 1) \,

2. Bestimme den kritischen Wert f_\alpha\, den (1-\alpha)\,-Quantil einer F_{q,n-k}\,-Verteilung, wobei q = \operatorname{rang}(R)\, ist.

3. Verwirft H_0\, falls die Teststatistik F > f_\alpha\,

Eventuell Erklärung was n, k und q ist.

F = \frac{(R \hat \beta - r)' (\hat \sigma^2 R (X'X)^{-1} R')^{-1} (R \hat \beta - r)}{q}\,

F =  \frac{\displaystyle\frac{(R \hat \beta - r)' (R (X'X)^{-1} R')^{-1} (R \hat \beta - r)}{q}}{\displaystyle\frac{\hat u'\hat u}{n-k}}\,