Statistik 3 - Beispiel 8

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Angabe: media:Stat3-examples-2.pdf

Bsp. 8a

Wissen: \vec \hat p \in E = \left \langle \vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k \right \rangle und E\, ist ein orthonormal Raum, weil

 \langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = 0 für  i \ne j und  \langle \vec{v}_i, \vec{v}_i \rangle = 1

D.h. alle Basisvektoren  \vec{v}_i stehen jeweils normal zueinander und sind auf 1 normiert.

\vec \hat p = \lambda_1 \vec{v}_1 + \cdots + \lambda_k \vec{v}_k

Wir sollen \lVert \vec p - \vec \hat p \lVert^2 minimieren.

Das Quadrat zu minimieren ist gleich bedeutend, wie nur den Betrag zu minimieren.

 \left \langle \vec p - \vec \hat p, \vec p - \vec \hat p \right \rangle =

Jetzt wird die Definition von \vec \hat p eingesetzt, zusammengefasst und aus multipliziert.

 \left \langle \vec p - \lambda_1 \vec{v}_1 - \cdots - \lambda_k \vec{v}_k, \vec p - \lambda_1 \vec{v}_1 - \cdots - \lambda_k \vec{v}_k \right \rangle =

Achtung die die nächsten Ausdrücke gehen über mehrere Zeilen


 
  \begin{matrix}
              & \langle \vec p , \vec p \rangle   & 
  - \lambda_1 & \langle \vec p, \vec{v}_1 \rangle & 
  - \lambda_2 & \langle \vec p, \vec{v}_2 \rangle &
 
  - \cdots    & 
  - \lambda_k & \langle \vec p, \vec{v}_k \rangle & \\

  - \lambda_1 & \langle \vec{v}_1, \vec p \rangle &
  + \lambda_1^2 & \underbrace{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_1 \rangle} &
  + \lambda_1 \lambda_2 & \underbrace{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle} & 
  + \cdots & 
  + \lambda_1 \lambda_k & \underbrace{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_k \rangle} & \\
    & & & 1 & & 0 & & & 0 & \\

    & \vdots & & & & & & & & \\

  - \lambda_k & \langle \vec{v}_k, \vec p \rangle &
  + \lambda_k \lambda_1 & \underbrace{\langle \vec{v}_k, \vec{v}_1 \rangle} &
  + \lambda_k \lambda_2 & \underbrace{\langle \vec{v}_k, \vec{v}_2 \rangle} & 
  + \cdots & 
  + \lambda_k^2 & \underbrace{\langle \vec{v}_k, \vec{v}_k \rangle} & = \\
    & & & 0 & & 0 & & & 1 & 
  \end{matrix}


 \langle \vec p , \vec p \rangle 
 - 2 \lambda_1 \langle \vec p, \vec{v}_1 \rangle
 \cdots
 - 2 \lambda_k \langle \vec p, \vec{v}_k \rangle 
 + \lambda_1^2 \cdots + \lambda_k^2

Bsp. 8b

Es ist zu zeigen das


 \vec p - \vec \hat p \perp \vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k


Obige Forderung ist gleichbedeutend mit  \langle \vec p - \vec \hat p, \vec{v}_i \rangle = 0 für  1 \le i \le k

Dieser Ausdruck wird jetzt umgeformt.

\vec \hat p = \lambda_1 \vec{v}_1 + \cdots + \lambda_k \vec{v}_k = \sum_{i=1}^k \lambda_i \vec{v}_i

\lambda_i = \langle \vec p, \vec{v}_i \rangle

 \langle \vec p - \sum_{j=1}^n \lambda_j \vec{v}_j, \vec{v}_i \rangle = 0 für  1 \le i \le n

 \langle \vec p - \sum_{j=1}^n \left( \langle \vec p, \vec{v}_j \rangle \vec{v}_j \right ), \vec{v}_i \rangle = 0 für  1 \le i \le k

Nebenrechnungen zu Vektorprodukt

 \langle x \vec a, \vec b \rangle = \sum_{i=1}^n x a_i b_i = x \sum_{i=1}^n a_i b_i = x \langle \vec a, \vec b \rangle für x \in \mathbb{R}

 
 \langle \vec a - \vec b, \vec c \rangle = 
 \sum_{i=1}^n (a_i-b_i) c_i = 
 \sum_{i=1}^n a_i c_i - \sum_{i=1}^n b_i c_i = 
 \langle \vec a, \vec c \rangle - \langle \vec b, \vec c \rangle

 \langle \vec p, \vec{v}_i \rangle - \langle \sum_{j=1}^n \left( \langle \vec p, \vec{v}_j \rangle \vec{v}_j \right ), \vec{v}_i \rangle = 0 für  1 \le i \le k

 \langle \vec p, \vec{v}_i \rangle - \sum_{j=1}^n  \langle \langle \vec p, \vec{v}_j \rangle \vec{v}_j, \vec{v}_i \rangle = 0 für  1 \le i \le k

 \langle \vec p, \vec{v}_i \rangle - \sum_{j=1}^n  \langle \vec p, \vec{v}_j \rangle \langle \vec{v}_j, \vec{v}_i \rangle = 0 für  1 \le i \le k

 
 \begin{matrix}
  \langle \vec p, \vec{v}_i \rangle 
  - \sum_{j=1,j \ne i}^n \langle \vec p, \vec{v}_j \rangle & \underbrace{\langle \vec{v}_j, \vec{v}_i \rangle} & 
  - \langle \vec p, \vec{v}_i \rangle & \underbrace{\langle \vec{v}_i, \vec{v}_i \rangle} & = 0 \\
  & 0 & & 1 &
 \end{matrix}
für  1 \le i \le k

Satz: Wenn ein Vektor auf alle Basen normal steht, stehts auch auf alle erzeugten Elemente normal.

Beweis:

\vec v \in E ist gleich bedeutend mit  \vec v = \lambda_1 \vec{v}_1 + \cdots + \lambda_k \vec{v}_k

 \langle \vec p - \vec \hat p, \vec v \rangle = \langle \vec p - \vec \hat p, \lambda_1 \vec{v}_1 + \cdots + \lambda_k \vec{v}_k \rangle =

 
 \begin{matrix}
  \lambda_1 & \underbrace{\langle \vec p - \vec \hat p, \vec{v}_1 \rangle} & + \cdots + 
  \lambda_k & \underbrace{\langle \vec p - \vec \hat p, \vec{v}_k \rangle} & = 0 \\
  & 0 & & 0 & 
 \end{matrix}