Statistik 3 - Beispiel 7

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Angabe: media:Stat3-examples-2.pdf

Bsp. 7a

[,1]
[1,]   90
     [,1]
[1,]   90

\hat{y_i} = \hat a + \hat b x_i

 
  \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} =  
  \begin{bmatrix} \hat{a} \\ \hat{a} \\ \hat{a} \end{bmatrix} + 
  \begin{bmatrix} \hat{b} x_1 \\ \hat{b} x_2\\ \hat{b} x_3 \end{bmatrix} 
  \Leftrightarrow
  \vec \hat y = \hat a \vec e + \hat b \vec x = \hat a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \hat b \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}

Bsp. 7c

First Order Conditions (FOC) bzw. Normalgleichungen

\sum_{i=1}^n y_i - \hat a - \hat b x_i = 0

und

\sum_{i=1}^n (y_i - \hat a - \hat b x_i) x_i = 0

In Vektor schreibweise:

 
 \left \langle \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle = 0 
  \Rightarrow 
 90^\circ

d.h. die Residuen stehen normal zum Einheitsvektor.

 
 \left \langle \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \right \rangle = 0 
  \Rightarrow 
 90^\circ

d.h. die Residuen stehen normal zum \vec x \,