Statistik 3 - Beispiel 24

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Beispiel 24 a

Zeigen Sie, dass zu jeder symmetrischen und nichtnegativ definiten Matrix \Sigma\, eine Matrix R\, existiert, sodass gilt:  \Sigma = RR'\,.

Hinweis: Wegen der Einleitung gilt \Sigma = U \Lambda U' \, (warum?). Versuchen Sie jetzt den rechten Ausdruck in ein Produkt der Form RR' \, zu zerlegen.

Definitionen:

\Omega = \Omega' \,

\forall \lambda_i \ge 0 \, 
 
z'Az \ge 0 \, für alle z \in \mathbb{R}^n \,
 
\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_i) \,

U'U = I \, Eigenvektoren

U' = U^{-1} \, Idempotent

U' \Omega U = A \,

\Omega = U \operatorname{diag}(\lambda_i) U' \,

 \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \vdots & \lambda_n \end{pmatrix} \,

 \Lambda^{\frac 1 2} = \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \vdots & \sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix} \,

\begin{matrix} \Omega = & \underbrace{U \Lambda^{\frac 1 2}} & \underbrace{\Lambda^{\frac 1 2} U'} \\ & R & R' \end{matrix}

zz. R = R' \,


R = U \Lambda^{\frac 1 2}

 \Lambda^{\frac 1 2} = \Lambda'^{\frac 1 2}

R' = (U \Lambda^{\frac 1 2})' = \Lambda'^{\frac 1 2} U' = \Lambda^{\frac 1 2} U' = U \Lambda^{\frac 1 2}

Beispiel 24 b

Ist \Sigma \, symmetrisch und positiv definit, dann ist auch R\, positiv definit. Ist R invertierbar?

Hinweis: Beachten Sie dass aus A\, invertierbar und P\, positiv definit folgt, dass AP\, positiv definit ist. Man wende das auf den Faktor A\, aus der Zerlegung in a) an.


\Omega = R R' \,

 R = U \Lambda^{\frac 1 2} \,

U\, ist positiv definit wenn \Omega \, positiv definit ist.

U \Lambda^{\frac 1 2}\, ist positiv definit, weil U \, invertierbar.

\Rightarrow U\, invertierbar, \Rightarrow \Lambda^{\frac 1 2}\, invertierbar (da alle Diagonaleelemente  > 0 \,

dann ist auch U \Lambda^{\frac 1 2}\, invertierbar

Achtung: Kathrin hat es noch ein bissi mehr allgemein.