Statistik 3 - Beispiel 18

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Beispiel 18 a

\operatorname{det}(A) = \operatorname{det}( \begin{pmatrix} 2 & - 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} ) =
2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 3 > 0 \Rightarrow \, positiv definit

\operatorname{det}(A - \lambda I) = 0

\operatorname{det}(\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix}  - \lambda I) = 0

\operatorname{det}(\begin{pmatrix} 2 - \lambda & - 1 \\-1 & 2 - \lambda \end{pmatrix}) = 0

(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \,

\lambda^2 +4 - 4 \lambda - 1 = 0\,

\lambda^2 - 4 \lambda - 3 = 0\,

\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3\,

Beispiel 18 b

(A - \lambda I) v = 0 \,

(\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda_1 I) v_1 = 0 \,

(\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} - 1 I) v_1 = 0 \,

\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\-1 & 1 \end{pmatrix} v_1 = 0 \Rightarrow v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \,

(\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda_2 I) v_2 = 0 \,

(\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} - 3 I) v_2 = 0 \,

\begin{pmatrix} -1 & - 1 \\-1 & -1 \end{pmatrix} v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \,

Um auf Länge 1 zu kommen muss noch durch \sqrt{v_{1,1}^2 + v_{1,2}^2}\, dividiert werden.

v_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\,

v_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\,

Beispiel 18 c

 v_1 ' v_2 = 0 \,

Beispiel 18 d

Eigenvektor haben folgende Definition

(A - \lambda I) v = 0 \,

bzw.

A v = \lambda v \,

Es soll gezeigt werden, dass v_i \, orthogonal zu v_j\, für i \ne j \, ist, wenn A\, symmetrisch ist.

Zu erst: für symmetrische Matrizen gilt

 \langle A v, w \rangle = v ' A ' w = v ' A w = \langle v, A w \rangle 

Betrachtet man

\langle A v_1, v_2 \rangle  = \langle v_1, A v_2 \rangle

\langle \lambda_1 v_1, v_2 \rangle  = \langle v_1, \lambda_2 v_2 \rangle

\lambda_1 \langle v_1, v_2 \rangle  = \lambda_2 \langle v_1, v_2 \rangle 

Für \lambda_1 \ne \lambda_2 \, muss \langle v_1, v_2 \rangle = 0 \, und somit orthogonal sein.