Statistik 3 - Beispiel 12

From StatWiki
Jump to: navigation, search

Contents

Bsp 12

Formulieren und beweisen Sie das Gauß-Markov Theorem für den Kleinstquadrateschätzer \tilde b des homogenen Modell.

Modell: y_i = b x_i + u_i \,

Ist b^\star \, ein linearer, unverzerrter Schätzer für b\,, dann ist
\operatorname{Var}(b^\star) \ge \operatorname{Var}(\tilde b) 
und Gleichheit hält nur dann, wenn
b^\star = \tilde b  oder \sigma^2 = 0 \,
\operatorname{Var}(\tilde b) = \frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}

Linearer Schätzer:  b^\star = \sum c_i y_i

Unverzerrter Schätzer:  
\operatorname{E}(b^\star) = 
\operatorname{E}(\sum c_i y_i) = 
\operatorname{E}(\sum c_i (b x_i + u_i) = 
\sum c_i (b x_i + \operatorname{E}(u_i)) = 
b \sum c_i x_i = b

\Rightarrow \sum c_i x_i = 1


 \operatorname{Var}(b^\star) = 
 \operatorname{E}( (b^\star - \operatorname{E}(b^\star))^2 ) =  
 \operatorname{E}( (\sum c_i y_i - b)^2 ) =
 \operatorname{E}( (\sum c_i (b x_i + u_i) - b)^2 ) =


 \begin{matrix}
  = \operatorname{E}( (b & \sum c_i x_i & + \sum c_i u_i - b)^2 ) = 
  \operatorname{E}( (\sum c_i u_i)^2 ) = \\
  & 1 & 
 \end{matrix}


 \begin{matrix}
  = \sum c_i^2 \operatorname{E}(u_i^2) + \sum_{i \ne j} c_i c_j & \underbrace{\operatorname{E}(u_i u_j)} & = 
  \sum c_i^2 & \underbrace{\operatorname{E}(u_i^2)} & = 
  \sigma^2 \sum c_i^2 \\
  & 0 & & \sigma^2 & 
 \end{matrix}


w_i = \frac{x_i}{\sum x_i^2}

\sum w_i^2 = \frac{\sum x_i^2}{\sum x_i^2} = \frac{1}{\sum x_i^2} 

\sum c_i x_i = 1

\sum c_i w_i = \frac{\sum c_i x_i}{\sum x_i^2} = \frac{1}{\sum x_i^2} = \sum w_i^2 


\sigma^2 \sum c_i^2 \ge \frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}

\sum (c_i - w_i + w_i)^2 \ge \sum w_i^2

\sum w_i^2 + \sum (c_i - w_i)^2 + 2 \left(\sum (c_i - w_i) w_i \right) \ge \sum w_i^2

\begin{matrix}\sum w_i^2 + \sum (c_i - w_i)^2 + 2( & \underbrace{\sum w_i c_i} & - \sum w_i^2 ) \ge \sum w_i^2 \\ & \sum w_i^2 & \end{matrix}

\sum w_i^2 + \sum (c_i - w_i)^2 + 2\left(\sum w_i^2 - \sum w_i^2 \right) \ge \sum w_i^2

\begin{matrix} \sum w_i^2 + & \underbrace{\sum (c_i - w_i)^2} & \ge \sum w_i^2 \\ & \ge 0 & \end{matrix}

Der 2te Term ist immer größer als 0, ausser c_i = \frac{1}{x_i} \,.