Neuere Entwicklungen in der Statistik - VO Prüfung - 24. Juni 2004 - Beispiel 4

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Sei X_1, \ldots, X_n\, u.i.v. Poisson-verteilt mit Parameter \lambda > 0\,. (Dann ist \operatorname{E}(X_i) = \operatorname{Var}(X_i) = \lambda \,)

Welche asymptotische Verteilung hat dann 

\sqrt n \left(\sqrt{\bar{X}_n} - \sqrt \lambda \right)\,

Allgemein: Delta-Methode

a_n(X_n - b) \rightarrow_d Z \,

a_n(g(X_n) - g(b)) \rightarrow_d g'(b) Z, a_n \rightarrow \infty \,

Normalverteilung

Z \sim N(\mu, \sigma^2), a + b Z = N(a + b \mu, b^2 \sigma^2) \,

g(u) = \sqrt(u) \,

g'(u) = \frac{1}{2 \sqrt(u)} \,

\sqrt n \left(\sqrt{\bar{X}_n} - \lambda \right) \rightarrow_d N(0,\lambda) \sim Y

\sqrt n \left(\sqrt{\bar{X}_n} - \sqrt \lambda \right) \rightarrow_d g'(\lambda) Y = 
\frac{1}{2 \sqrt(\lambda)} Y = 
\frac{1}{2 \sqrt(\lambda)} N(0, \lambda) = 
N\left(0, \frac{1}{4 \lambda} \lambda\right) = 
N\left(0, \frac{1}{4}\right)
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