Neuere Entwicklungen in der Statistik - VO Prüfung - 24. Juni 2004 - Beispiel 3

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Seien X_1, \ldots, X_n\, u.i.v. N(\mu,1)\, verteilt. Sei weiters

\bar{Y}_n = \frac{1}{n+1} \mu_0 + \frac{n}{n+1} \bar{X}_n \,

der Bayes-Schätzer zur a-priori N(\mu_0, 1) \, für den unbekannten Parameter \mu \,.

(a) Ist \bar{X}_n\, konsistent? (Begründung!)

Def. Konsistenz: Konvergenz in Wahrscheinlichkeit der Statistik gegen wahren Parameter.

Gesetz d. grossen Zahlen

Vorraussetzungen: \operatorname{E}(X_i) = \mu, \operatorname{Var}(X_i) = \sigma^2 < \infty, \operatorname{E} |X_i| < \infty \,, X_i \, müssen i.i.d.

\operatorname{E}(\bar{X}_n) = \operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac 1 n \sum_{i=1}^n \operatorname{E}(X_i) = \mu \,

\operatorname{Var}(\bar{X}_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) = \frac{n \cdot \operatorname{Var}(X_i)}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n} = \frac 1 n \rightarrow 0 \,

Ja, ist konsistent!

(b) Ist \bar{Y}_n\, konsistent? (Begründung!)


\begin{align}
\operatorname{E}\left(\frac{1}{n+1} \mu_0 + \frac{n}{n+1} \bar{X}_n\right) & = \frac{1}{n+1} \mu_0 + \frac{n}{n+1} \frac 1 n \operatorname{E}(\bar{X}_n)  \\
& = \frac{1}{n+1} \mu_0 + \frac{n}{n+1} \mu
\end{align}
\,

 \frac{1}{n+1} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0 \,

 \frac{n}{n+1} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 1 \,

Daher  \frac{1}{n+1} \mu_0 + \frac{n}{n+1} \mu \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \mu \,

\operatorname{Var}(\bar{Y}_n) = 
 \operatorname{Var}\left(\frac{1}{n+1} \mu_0 + \frac{n}{n+1} \bar{X}_n\right) =
 \frac{n^2}{(n+1)^2} \operatorname{Var}(\bar{X}_n) = 
 \frac{n^2}{(n+1)^2} \frac{\sigma^2}{n} =
 \frac{n \sigma^2}{(n+1)^2} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0
 
 
\bar{Y}_n\, ist konsistent.

(c) Welche asymptotische Verteilung hat der normalisierte Stichprobenmittelwert \sqrt n (\bar{X}_n - \mu) \,?

Zentralen Grenzwertsatz

 \sqrt n (\bar{X}_n - \mu) \rightarrow_d N(0,\sigma^2) \,
 \sqrt n (\bar{X}_n - \mu) \rightarrow_d N(0,1) \,

(d) Wie ändert sich die asymptotische Verteilung, wenn die X_i\, u.i.v. sind mit \operatorname{E}(X_i) = 0 \, und \operatorname{Var}(X_i) = 4 \,, aber nicht vorausgesetzt wird, dass die Beobachtungen normalverteilt sind?

Zentraler Grenzwertsatz benötigt nicht, dass die Beobachtung normalverteilt sind. Daher

 \sqrt n (\bar{X}_n - \mu) \rightarrow_d N(0,4) \, (vgl. \frac{\sqrt n}{\sigma} (\bar{X}_n - \mu) \rightarrow_d N(0,1) \,

(e) Gilt der zentrale Grenzwertsatz auch, wenn \operatorname{Var}(X_i) = \infty \, ist?

Nein, Vorraussetzung \operatorname{Var}(X_i) < \infty \, 

(f) Welche asymptotische Verteilung hat der normalisierte Bayes-Schätzer  \sqrt n (\bar{Y}_n - \mu) \,? (Begründung.)

\bar{X}_n \rightarrow_d X = N\left(\mu, \frac 1 n \right) \,

Slutsky: \bar{Y}_n = A_n + B_n \bar{X}_n \rightarrow_d a + b X = 0 + N\left(\mu, \frac 1 n \right) \,

Daher:  \sqrt n (\bar{Y}_n - \mu) \rightarrow_d \sqrt n \left(N\left(\mu, \frac 1 n \right) - \mu \right) = N(0,1)\,
Alternativ:

Es gilt der zentrale Grenzwertsatz, weil die  Y_i= \frac{1}{n+1}\mu_0 + \frac{n}{n+1}X_i iid sind.
  
Bei Beispiel 2 ist der asymptotische Erwartungswert schon berechnet. Die asymptotische Varianz ist  

\operatorname{Var}(Y_i)=\operatorname{Var}\left( \frac{1}{n+1}\mu_0 + \frac{n}{n+1}X_i \right) = \frac{n^2}{(n+1)^2}\operatorname{Var}(X_i) =
\frac{n^2}{(n+1)^2}\sigma^2 =
\frac{n^2}{(n+1)^2} \rightarrow 1   für n \rightarrow \infty.

Also \sqrt{n}(\bar{Y}_n - \mu) \rightarrow_d N(0,1).  

(g) Wie ist die asymptotische relative Effizient von zwei Schätzern definiert?

e(\hat X, \hat Y) = \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \, Man setzt die asymptotische Varianz in Beziehung

(h) Berechnen Sie die asymptotische relative Effizienz des Bayes-Schätzer im Vergleich zum arithmetischen Mittel \bar{X}_n\,.

laut (c) \sqrt n (\bar{X}_n - \mu) \rightarrow_d N(0, 1) \,

laut (f) \sqrt n (\bar{X}_n - \mu) \rightarrow_d N(0, 1) \,

e(\bar{X}_n, \bar{Y}_n) = \frac 1 1 = 1 \,, d.h. beide sind gleich gut.