Mathematische Statistik - Übung 6.40

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Seien X_1, X_2, \ldots, X_n  \, unabhängig und Gamma-verteilt (siehe Beispiel 4.20). Zeigen Sie

 \left( \prod_{j=1}^n X_j, \sum_{i=1}^n X_i \right) \,

ist suffizient für  (\alpha, \beta) \,. Speziell ist  \prod_{j=1}^n X_j \, suffizient für  \beta \, bei bekanntem  \alpha \, und  \sum_{i=1}^n X_i \, für  \alpha \, bei bekanntem  \beta \,.


\begin{align}
P(x_1, \ldots, x_n, \theta)
& = \prod_{i=1}^n \frac{\alpha^\beta}{\Gamma(\beta)} x_i^{\beta - 1} e^{-\alpha x_i} \\
& = \underbrace{\frac{\alpha^\beta}{\Gamma(\beta)} e^{-\alpha \sum_{i=1}^n x_i} \left(  \prod_{j=1}^n X_j \right)^{\beta-1}}_{g(T(x), (\alpha, \beta))}
\end{align}
 \,
 
Für  \alpha \,:

 \underbrace{\frac{\alpha^\beta}{\Gamma(\beta)} e^{-\alpha \sum_{i=1}^n x_i}}_{g(T(x), \alpha)} \underbrace{\left(  \prod_{j=1}^n X_j \right)^{\beta-1}}_{h(x)} \,

Für  \beta \,:

 \underbrace{\frac{\alpha^\beta}{\Gamma(\beta)} \left(  \prod_{j=1}^n X_j \right )^{\beta-1}}_{g(T(x), \alpha)} \underbrace{e^{-\alpha \sum_{i=1}^n x_i}}_{h(x)} \,