Mathematische Statistik - Übung 2.22

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Manchmal ist die Hypothese von Interesse, dass Erwartungswert und Varianz von normalverteilten Zufallsgrössen in einem bestimmten Zusammenhang stehen. Wir betrachten daher Hypothesen der Form, dass  X_1, \ldots, X_n \, für ein bestimmtes  a  \, nach  N(\mu = \theta, \sigma^2 = a \theta) \, verteilt sind. (Natürlich setzen wir voraus, dass  \theta >0 \, )

(a)

Wie lautet der beste Test beruhend auf den Beobachtungen  X_1,\ldots,X_n \, zu den Hypothesen  H_0:a = 1  \, (also  X_i \sim N(\theta, \theta) \,) gegen  H_1:a=2  \, (also  X_i \sim N(\theta, 2 \theta) \,)?


l(\theta, x) = - {\frac n 2} \log 2 + \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \theta)^2}{4 \theta}
\,

 P_{\theta_0}(l(\theta,x) > k) = \alpha \,

 P_{\theta_0} \left( \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \theta)^2}{\theta} \le \left(k + {\frac n 2} \log 2\right) \right) = 1 - \alpha \,

  \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - \theta)^2}{\theta} \sim \chi^2_{n} \,