Mathematische Statistik - Übung 1.42

Seien $X_1, \ldots, X_n \,$ unabhängige auf $[0,1] \,$ gleichverteilte Zufallsgrössen. Welche Verteilungsfunktion und welche Dichte hat $Y = \max(X_1, \ldots, X_n) \,$

$P(X_i \le z) = 
\begin{cases}
	0 & \mbox{falls } z < 0 \\
	z & \mbox{falls } 0 \le z \le 1 \\
	1 & \mbox{falls } z > 1
\end{cases}
 \,$


$\begin{align}
P(Y \le z)
& = P( \max(X_1, \ldots, X_n) \le z ) \\
& = P( X_1 \le z, X_2 \le z, \ldots, X_n \le z) \\
& = \prod_{i=1}^n P( X_i \le z) \\
& = P(X_1 \le z)^n
\end{align} \,$


$P(Y \le z ) =
\begin{cases}
	0 & \mbox{falls } z < 0 \\
	z^n & \mbox{falls } 0 \le z \le 1 \\
	1 & \mbox{falls } z > 1
\end{cases}
 \,$


$f_Y(x) = 
\begin{cases}
0 & \mbox{falls } x < 0 \mbox{ oder } x > 1 \\
n x^{n-1} & \mbox{falls } 0 \le x \le 1
\end{cases}
\,$

Zur Ueberpruefung: $\int_0^1 n x^{n-1} \, dx = x^n |_0^1 = 1 - 0 = 1 \,$