Mathematische Statistik - Übung 1.39

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Die n-dimensionale Zufallsvariable X sein normalverteilt mit Mittelwertsvektor \mu und Varianz-Kovarianz-Matrix \Sigma. Berechnen Sie die Dichte von Y=C X + d \,, wobei C eine nichtsingulaere [n x n] Matrix ist.

Nach dem Reproduktionssatz ist Y \sim N(C \mu + d, C \Sigma C') \, verteilt.

Achtung: man hätte in den Transformationssatz einsetzen sollen und ausrechnen

Welche Verteilung hat Y, wenn X unabhaengige standardnormalverteilte Komponenten X_i hat und C orthogonal ist?

Y \sim N(d, 1 |C|) \, (Hauptdiagonale enthaelt normen der Spaltenvektor)

Welche Kovarianzmatrix hat Y, wenn C die transponierte Matrix der normierten Eigenvektor von \Sigma hat?

\Sigma = U D U' \, wobei U\, die Eigenvektoren und D\, eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten als Elemente.
Und  C = U \,, somit  C \Sigma C' = U U D U' U' = D \,