Mathematische Statistik - Übung 1.34

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Es sei  f(x) = \frac{1}{\pi (1-x^2)} \, die Dichte von Zufallsvariablen  X_1 \, und  X_2 \,. Man finde die Dichte von  \frac{X_1+X_2}{2} = Z \, mit (  X_1, X_2 \, unabhaengig)

X ist somit Cauchy verteilt. Und besitzt charakteristische Funktion:  \varphi_X(t) = e^{-|t|} \,

Fuer unabhaengige Zufallsvariablen gilt:  \varphi_{X + Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t) \,


\begin{align}
\varphi_{\frac{X_1+X_2}{2}}(t)
& = \varphi_{X_1/2}(t) \cdot \varphi_{X_2/2}(t) \\
& = e^{-\frac{|t|}{2}} e^{-\frac{|t|}{2}} \\
& = e^{\frac{-|t| -|t|}{2}}  \\
& = e^{-|t|}
\end{align}  \,

Somit ist  f_Z(x) = \frac{1}{\pi (1-x^2)} \,
Das man hier einfach mit 1/2 multiplizieren darf kommt von en:Characteristic_function_(probability_theory)#Basic_properties bzw.


\begin{align}
\varphi_{X_1/2}(t) \varphi_{X_2/2}(t)
& = \operatorname{E} \left(e^{it \frac 1 2 X_1} \right) \operatorname{E} \left(e^{it \frac 1 2 X_1} \right) \\
& = \operatorname{E} \left(e^{it \frac 1 2 X_1 + \frac 1 2 X_1} \right) \\
& = \operatorname{E} \left(e^{i \frac t 2 (X_1 + X_1)} \right)
\end{align}
\, 

Zusammenziehen darf man, da X_1, X_2 \, selben Wahrscheinlichkeitsraum und selbes Wahrscheinlichkeitsmass besitzen.