Mathematical Statistics and Data Analysis - Chapter 2.5

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Beispiel 1

Beispiel 33

F(x) = 1 - e^{-\alpha x^\beta} für  x \ge 0 \,,  \alpha > 0 \, und  \beta > 0 \,

und

F(x) = 0 \, für x < 0 \,

Es ist zu zeigen das F(x)\, eine Verteilungsfunktion ist und die dazugehörige Dichtefunktion ist zu bestimmen.

Beispiel 34

 f(x) = \frac{1 + \alpha x}{2} für -1 \le x \le 1 \, und -1 \le \alpha \le 1 \,

Check ob es eine Dichte ist und Verteilungsfunktion bestimmen.

Dichte kontrollieren:

\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = 1 und f(x) \ge 0

 \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx =

 \int_{-\infty}^{-1} 0 \, dx + \int_{-1}^1 \frac{1 + \alpha x}{2} \, dx + \int_1^\infty 0 \, dx =

 \int_{-1}^1 \frac{1 + \alpha x}{2} \, dx =

 \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^1 1 \, dx + \int_{-1}^1 \alpha x \, dx \right) =

 \frac{1}{2} \left( x \Bigg|_{-1}^1 + \alpha \frac{x^2}{2} \Bigg|_{-1}^1 \right) =

 \frac{1}{2} ( (1 - (-1) ) + (\alpha \frac{1^2}{2} - \alpha \frac{(-1)^2}{2})) = \frac{2}{2} = 1

Verteilungsfunktion:

F(x) = \int_{-\infty}^x f(x) \, dx =

\int_{-\infty}^{-1} 0 \, dx + \int_{-1}^x \frac{1+\alpha x}{2} \, dx = für x \ge 1

Ab hier gilt immer x \ge 1

\int_{-1}^x \frac{1+\alpha x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^x 1 \, dx + \int_{-1}^x \frac{\alpha x}{2} \, dx \right) =

\frac{1}{2} \left(x \Bigg|_{-1}^x + \alpha \frac{x^2}{2} \Bigg|_{-1}^x \right) =
      \frac{1}{2} \left( (x - (-1)) + \alpha (\frac{x^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}) \right) = F(x)

Beispiel 35

Beispiel 37

Wenn X <= \frac{1}{3} oder X >= \frac{2}{3} ist die längere Seite jeweils mehr als doppelt solang als die kürzere Seite. Jetzt eingesetzt in die Verteilungsfunktion: P(X <= \frac{1}{3}) + P(X >= \frac{2}{3}) = P(X <= \frac{1}{3}) + (1 - P(X <= \frac{2}{3})) = \frac{1}{3} + (1 - \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}

Beispiel 38

Wenn f\, und g\, Dichte, ist dann \alpha f + (1-\alpha) g \, auch Dichte wenn  0 \le \alpha \le 1 \, ?

Dichte kontrollieren:

\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = 1 und f(x) \ge 0


  \int_{-\infty}^\infty \alpha f(x) + (1-\alpha) g(x) \, dx = 
  \alpha \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx  + (1 - \alpha) \int_{-\infty}^\infty g(x) \, dx =
  \alpha \cdot 1 + (1-\alpha) \cdot 1 = 1
 

  \begin{matrix} 
   \underbrace{\alpha f(x)} & + & \underbrace{(1-\alpha) g(x)} \\
   \ge 0 & & \ge 0
  \end{matrix}
 

Beispiel 39

Verteilungsfunktion einer Standard de:Cauchy-Verteilung

F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(x) für -\infty < x , \infty

Beispiel 39a

Ist obige Verteilungsfunktion? D.h. F(-\infty) = 0 und F(\infty) = 1?

(Spezielle Werte des de:Arkuskotangens)


  F(-\infty) = 
  \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(-\infty) =
  \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = 
  \frac{1}{2} -\frac{1}{2} =
  0
 

  F(\infty) = 
  \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\infty) =
  \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot (\frac{\pi}{2}) = 
  \frac{1}{2} + \frac{1}{2} =
  1
 

Beispiel 39b

Finde die Dichte.


  f(x) = 
  F'(x) =
  \frac{d}{dx} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(x) = 
  \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2}
 

Beispiel 39c

P(X > x) = .1


  \begin{matrix}
   1 - P(X \le x) & = & 0.1 \\
   0.9 & = & P(X \le x) \\
   x & = & 3.077
  \end{matrix}
 

Wobei letzters durch finden der Inversen bzw. Aufruf der R-Funktion qcauchy(0.9) gefunden werden kann.

Beispiel 40

Beispiel 40a

Beispiel 40b

Beispiel 40c

Beispiel 41

Beispiel 42

Beispiel 43

Beispiel 44

Beispiel 46

Beispiel 47

Beispiel 48

Schau in den Übungen nach!

Beispiel 49

Das is sicher in den Übungen

Beispiel 57

Das is sicher in den Übungen

Beispiel 58

Beispiel 59

Beispiel 60

Beispiel 65

Mit der Inversen der Verteilungsfunktion

Beispiel 68

Beispiel 69

Beispiel 40