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Nehmen wir an, es gäbe 2 dominante Marker A und B, sodass wir erkennen können, wenn mindestens ein Allel von Linie 1 in den Nachkommen vorliegt. Wir sind interessiert die Distanz zwischen den Markern ( $\delta\,$ ) oder äquivalent die Rekombinationsrate ( $\rho\,$ ) zu schätzen ( $\rho\,$ ist Schätzer von $r\,$ )

Komplette Info

Übergangswahrscheinlichkeiten
	BB	Bb	bb	bB
AA	$(1-r)^2\,$	$(1-r) r\,$	$r^2\,$	$r (1-r)\,$
Aa	$(1-r) r\,$	$(1-r)^2\,$	$r (1-r)\,$	$r^2\,$
aa	$r^2\,$	$r (1-r)\,$	$(1-r)^2\,$	$(1-r) r\,$
aA	$r (1-r) \,$	$r^2\,$	$(1-r) r\,$	$(1-r)^2\,$

Nach Angabe sind AA, Aa, aA (A_) voneinander nicht zu unterscheiden, selbiges für BB, Bb, bB (B_)

$F_2\,$ Resign???

2 ingezüchtete Linien, daher gentisch ident innerhalb, werden gekreuzt, um eine $F_1\,$ Generation zu erhalten. Diese ist genetisch wieder einheitlich, weil sie ja ein Chromosom vom Vater und eines von der Mutter erhält.

Von dieser $F_1\,$ Generation wird eine $F_2\,$ Generation durch Bruder-Schwester Paarung erhalten, die nun genetische Variabilität zeigen kann.

$\Rightarrow \,$ 4 Gruppen unterscheidbar, daher

Freq(A_, B_)	=	30
Freq(A_, bb)	=	5
Freq(aa, B_)	=	2
Freq(aa, bb)	=	10

Lösung

Verteilungen

$\rho \sim \mathrm{Beta}(n_r+1, N-n_r+1)\,$

$N_{A\star,B\star} \sim \mathrm{Multinomial} \left(n=30, \vec p = \begin{pmatrix} (1-r)^2 \\ (1-r) r \\ r (1-r) \\ (1-r) r \\ (1-r)^2 \\ r^2 \\ r (1-r) \\ r^2 \\ (1-r)^2 \end{pmatrix} \cdot a \right)\,$

<axiom echo="true"> solve(1 = a*((1-r)^2 + (1-r)*r + r*(1-r) + (1-r)*r + (1-r)^2 + r^2 + r*(1-r) + r^2 + (1-r)^2),a) </axiom>

$N_{A\star,bb} \sim \mathrm{Multinomial} \left(n=5, \vec p = \begin{pmatrix} r^2 \\ r (1-r) \\ (1-r) r \end{pmatrix} \cdot a \right)\,$

<axiom echo="true"> solve(1 = a*(r^2 + r*(1-r) + (1-r)*r),a) </axiom>

$N_{aa,B\star} \sim \mathrm{Multinomial} \left(n=2, \vec p = \begin{pmatrix} r^2 \\ r (1-r) \\ r (1-r) \end{pmatrix} \cdot a \right)\,$

<axiom echo="true"> solve(1 = a*r^2 + a*r*(1-r) + a*(1-r)*r,a) </axiom>

Um die Anzahl der Rekombinationen zu zählen wird die Matrix der absoluten Häufigkeiten mit der folgenden Matrix positionsweise multipliziert (also nicht Matrizenmultiplikation)

$\begin{pmatrix} 0&1&2&1 \\ 1&0&1&2 \\ 2&1&0&1 \\ 1&2&1&0 \end{pmatrix} \,$

Program

pdf(rpdf)

library(coda)

gibbs = function(r, n=5e3) {
	#wir haben vergessen, dass jedes Individuum diploid ist, also 
	#2 Rekombinationen repraesentiert!
	#deshalb der 2er
	N = 2*47
	
	# wird mit absoluten frequenzen multipliziert
	# um nr zu berechnen (also die anzahl der rekombinationen)
	# Wie entsteht diese? z.b. AA->BB = 0, keine Rekombination, AA->Bb = 1, eine Rekombination
	nr.key=matrix(c(
		 0,1,2,1,
		 1,0,1,2,
		 2,1,0,1,
		 1,2,1,0), byrow=T, ncol=4)

 	replicate(n,
		{
			# print(r)

			AxBx=rmultinom(1, 30, 
			 c((1-r)^2, (1-r)*r,     r*(1-r), 
			   (1-r)*r, (1-r)^2,     r^2, 
			   
			   r*(1-r), r^2,         (1-r)^2)*(1/(r^2 - 2*r + 3)))

			Axbb=rmultinom(1, 5,
			 c(                  r^2,
					     r*(1-r),

					     (1-r)*r)*(-1/(r^2-2*r)))

			aaBx=rmultinom(1, 2, 
			 c(r^2, 
			   r*(1-r), 
			   r*(1-r)) * (-1/(r^2 - 2*r)))

			abs.freq=matrix(c(
			    AxBx[1:2], Axbb[1], AxBx[3],
			    AxBx[4:5], Axbb[2], AxBx[6],
			    aaBx[1:2], 10,      aaBx[3],
			    AxBx[7:8], Axbb[3], AxBx[9]), byrow=T, ncol=4)
					  
			# print(abs.freq)

			# Anzahl der Rekombinations
			nr = sum(abs.freq * nr.key)

			# print(nr)

			# wichtig <<- ersetzt global variable r
			r <<- rbeta(1, nr+1, N-nr+1)
			r
		})
}

hist(sapply(seq(0.001,1,length.out=10), gibbs, 5000))

#

Computerintensive Methoden - Hausübung Markus

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