Computerintensive Methoden - Coalescent Theory - Chapter 1 - Task 3

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Either by adapting the code given in the lecture notes or using the method given in Question 2
simulate a coalescent tree for a population which underwent a bottleneck between 0.4N and 0.6N generations ago. 
During the bottleneck the population size was N/2 (i.e. N alleles), otherwise the population was N.

Umbenennung der $t_k \,$ in $t_k^\star \,$ aus [Computerintensive Methoden - Coalescent Theory - Chapter 1 - Task 2]
$v_k \,$ ist die summe der $t_n + t_{n-1} + \ldots t_k \,$
Die Bottleneck Zeitpunkte in $t \,$ ausdrücken. Bsp.: $0.4 N = 2N t \,$ , weil $t \,$ in $2N \,$ Generationen gemessen wird
$\lambda(t) = \lambda \left(\frac{N(0)}{N(t)}\right) \,$ für alle Bereiche von $t \,$
$\Lambda(t) = \int_0^t \lambda(u) du \,$
Bestimmen der $t_k \,$ . Wobei $t_j^\star = \Lambda(v_j) - \Lambda(v_{j+1}) \,$ .

Gegeben ist  aus (1) und  aus dem vorherigen Schritt (wobei  ist).

Zuerst bestimmen wir alle . Bei  muss der Bereich (also  nach ) ausgewählt werden.

Jetzt

4. Bestimmen von $\lambda(t) \,$

$\lambda(t) = \begin{cases} \frac{N(0)}{N(t)} = \frac{N}{N} = 1 & t \le 0.2 \\ \frac{N(0)}{N(t)} = \frac{N}{N/2} = 1 & 0.2 \le t \ge 0.3 \\ \frac{N(0)}{N(t)} = \frac{N}{N} = 1 & t \ge 0.3 \\ \end{cases} \,$

5. Bestimmen von $\Lambda(t) \,$

$\Lambda(t) = \begin{cases} \int_0^t \lambda(u) du = \int_0^t 1 du = u |_0^t = t & t \le 0.2 \\ \int_0^t \lambda(u) du = \int_0^{0.2} 1 du + \int_{0.2}^{t} 2 du = u |_0^{0.2} + 2 u |_{0.2}^t = 0.2 + 2(t - 0.2) = 2t - 0.2& t \le 0.3 \\ \int_0^t \lambda(u) du = \int_0^{0.2} 1 du + \int_{0.2}^{0.3} 2 du + \int_{0.3}^{t} 1 du = u |_0^{0.2} + 2 u |_{0.2}^{0.3} + u |_{0.3}^t = 0.2 + 2(0.3 - 0.2) + (0.3 - t) = t+0.1 & t \ge 0.3 \\ \end{cases} \,$

Computerintensive Methoden - Coalescent Theory - Chapter 1 - Task 3

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