Computerintensive Methoden - Coalescent Theory - Chapter 1 - Task 3

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Either by adapting the code given in the lecture notes or using the method given in Question 2
simulate a coalescent tree for a population which underwent a bottleneck between 0.4N and 0.6N generations ago. 
During the bottleneck the population size was N/2 (i.e. N alleles), otherwise the population was N. 
  1. Umbenennung der  t_k \, in t_k^\star \, aus [Computerintensive Methoden - Coalescent Theory - Chapter 1 - Task 2]
  2.  v_k \, ist die summe der  t_n + t_{n-1} + \ldots t_k \,
  3. Die Bottleneck Zeitpunkte in  t \, ausdrücken. Bsp.:  0.4 N = 2N t \,, weil  t \, in  2N \, Generationen gemessen wird
  4.  \lambda(t) = \lambda \left(\frac{N(0)}{N(t)}\right) \, für alle Bereiche von  t \,
  5.  \Lambda(t) = \int_0^t \lambda(u) du \,
  6. Bestimmen der  t_k \,. Wobei  t_j^\star = \Lambda(v_j) - \Lambda(v_{j+1}) \,.
Gegeben ist  t_j^\star \, aus (1) und v_{j+1} \, aus dem vorherigen Schritt (wobei v_n = t_n^\star \, ist).

Zuerst bestimmen wir alle v_j\,. Bei  \Lambda(v_i) \, muss der Bereich (also x \le t \ge y\, nach t = v_i^\star \,) ausgewählt werden.

Jetzt t_k = v_j - v_{j+1}\,

4. Bestimmen von  \lambda(t) \,

 \lambda(t) =
\begin{cases}
\frac{N(0)}{N(t)} = \frac{N}{N} = 1 & t \le 0.2 \\
\frac{N(0)}{N(t)} = \frac{N}{N/2} = 1 & 0.2 \le t \ge 0.3 \\
\frac{N(0)}{N(t)} = \frac{N}{N} = 1 & t \ge 0.3 \\
\end{cases} \,

5. Bestimmen von  \Lambda(t) \,

 \Lambda(t) =
\begin{cases}

\int_0^t \lambda(u) du = \int_0^t 1 du = u |_0^t = t & t \le 0.2 \\

\int_0^t \lambda(u) du = \int_0^{0.2} 1 du + \int_{0.2}^{t} 2 du = u |_0^{0.2} + 2 u |_{0.2}^t = 0.2 + 2(t - 0.2) = 2t - 0.2& t \le 0.3 \\

\int_0^t \lambda(u) du = \int_0^{0.2} 1 du + \int_{0.2}^{0.3} 2 du + \int_{0.3}^{t} 1 du = u |_0^{0.2} + 2 u |_{0.2}^{0.3} + u |_{0.3}^t = 0.2 + 2(0.3 - 0.2) + (0.3 - t) = t+0.1 & t \ge 0.3 \\

\end{cases} \,